Matematica, è stato scoperto un infinito più infinito degli altri

Cos’è l’infinito? Come lo si maneggia dal punto di vista della matematica? Per introdurre la questione, immaginate che esista un hotel con infinite stanze – chiamiamolo Hilbert Hotel. L’albergatore è particolarmente felice perché è al completo: ci sono infiniti ospiti, ciascuno ben sistemato in ogni stanza dell’hotel. Poi, di notte, un imprevisto: arriva una persona che chiede disperatamente una stanza. Sebbene l’hotel sia al completo, l’albergatore non si perde d’animo: chiede ai suoi infiniti ospiti la cortesia di trasferirsi nella stanza con il numero successivo a quella che occupano, e fa accomodare il nuovo cliente nella stanza numero 1, che ora si è liberata. Poco tempo dopo, un altro problema: arrivano infinite nuove persone che chiedono un posto (evidentemente siamo in alta stagione); in questo caso, l’albergatore chiede agli ospiti di spostarsi in una camera con il numero doppio rispetto a quella che occupano, e in questo modo i nuovi arrivati possono installarsi nelle infinite stanze con i numeri dispari che si sono a fatica liberati. Con un po’ di fantasia, e ripetendo (all’infinito) questo tipo di giochetti, si può dimostrare che all’Hotel Hilbert ci sarà sempre posto per tutti, anche se dovessero arrivare infiniti autobus ciascuno con infiniti turisti.

Quello a fatica esposto è un famoso esperimento mentale creato dal logico tedesco David Hilbert per illustrare le proprietà, a volte controintuitive, del concetto di insieme infinito, che può essere “espanso” arbitrariamente senza mai esaurire lo spazio disponibile. Ma c’è dell’altro, che rende il tutto ancora più complicato: non esiste “un solo” infinito. Per quanto possa sembrare bislacco, le cose stanno proprio così, e lo sappiamo da tempo: già nel 1878 un altro logico, George Cantor, aveva mostrato che alcuni infiniti erano più infiniti di altri. Nello specifico, Cantor osservò che l’insieme infinito dei numeri naturali (1, 2, 3, eccetera) è in qualche modo “meno infinito” rispetto a quello dei numeri reali (quelli che comprendono gli interi, i razionali e gli irrazionali): è come se il primo fosse un infinito “meno denso” del secondo. E oggi lo scenario potrebbe cambiare: un gruppo di matematici della Vienna University of Technology sostiene infatti, in uno studio caricato su ArXiv, di aver scoperto un nuovo tipo di infinito, che potrebbe scompaginare le regole attuali.

Una casa con dentro infinite case

“Storicamente, i matematici hanno elaborato nozioni di infinito sempre più complesse” racconta al New Scientist Juan Aguilera, uno degli autori dello studio “che sono state poi inserite in una sorta di ordinamento”. La novità è che Aguilera e colleghi hanno individuato due nuove “dimensioni” infinite, chiamate cardinali esatti e ultra-esatti (exacting cardinals e ultra-exacting cardinals) che non rientrano nella ordinamento esistente e anzi “interagiscono in modo molto strano con le altre nozioni di infinito”. Proviamo a capirci qualcosa: gli autori del lavoro hanno definito questi due nuovi insiemi prevedendo che entrambi contengano copie matematiche esatte di sé stessi, come una casa che, al suo interno, contenga più modelli a grandezza naturale della stessa casa, e copie matematiche “rimpicciolite” di insiemi più grandi, come se la nostra casa contenga anche modelli del quartiere o della città dove si trova. In più, i cardinali ultra-esatti devono contenere anche le regole matematiche che definiscono come realizzarli, come se la nostra casa fosse tappezzata con i progetti di costruzione. Sono proprio queste regole così bizzarre (ma del tutto legittime quando si parla di infinito: ripensate all’Hilbert Hotel e vi convincerete che in un infinito ci si può mettere di tutto) a causare lo “scardinamento” delle gerarchie attuali.

Il problema della scelta

La ordinamento degli infiniti si basa su un set di regole di base, o assiomi, sistematizzate nella cosiddetta teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. Uno di questi assiomi, l’assioma della scelta, è particolarmente controverso: afferma che è sempre possibile costruire un nuovo insieme di numeri scegliendo numeri da un altro insieme, ma non dice niente su come scegliere questi numeri. Secondo alcuni matematici, questo assioma non avrebbe funzionato nel caso di insiemi infiniti, proprio perché lasciava indefinito il problema della scelta; oggi, tuttavia, l’assioma è generalmente accettato anche per insiemi infiniti, ed è usato per “organizzare” gli infiniti in tre regioni, di complessità e profondità mezzaluna (nella prima regione, per esempio, c’è l’insieme infinito dei numeri reali, uno dei più “semplici”). Il problema è che i cardinali esatti e i cardinali ultra-esatti sembrano non poter essere collocati in nessuna di queste tre regioni: “È un caos completo – racconta Aguilera – Non è chiaro se si trovino in una regione ‘intermedia’ o se si trovino in una quarta nuova regione, con regole e assiomi diversi”. Suona molto complicato e molto astratto, ed effettivamente lo è; ma è anche interessante perché alla soluzione del problema sono legate questioni molto più grandi e importanti, in particolare la cosiddetta congettura Hod (Hereditarily Ordinal Definable), un’ipotesi ancora non dimostrata sulla validità dell’assioma della scelta per insiemi di infiniti particolarmente “densi”: “Se l’esistenza dei cardinali esatti fosse accettata dalla comunità matematica” – ha concluso Gabriel Goldberg, esperto della Berkeley University, “vorrebbe dire che la congettura Hod potrebbe essere falsa, e dunque regnerebbe il caos”.