Puzzle, qual è la dimensione del tavolo perfetto per assemblarlo?

Se fra i vari regali di Natale avete ricevuto anche un puzzle, questa è la news che fa per voi. Infatti, fra le stravaganti domande a cui la scienza ha tentato di dare risposta nel corso del 2023 c’è anche questa: qual è la dimensione giusta per un tavolo che dovrà ospitare l’assemblaggio di un determinato puzzle? A chiederselo sono stati Madeleine Bonsma-Fisher e Kent Bonsma-Fisher, rispettivamente data scientist presso l’Università di Toronto (Canada) e ricercatore presso il gruppo di Ultrafast Quantum Photonics del National Research Council of Canada. I due hanno ideato un modello matematico per calcolare l’area che occupano i pezzi di un puzzle disposti uno vicino all’altro su una certa superficie, ma non ancora correttamente assemblati. La risposta, pubblicata in forma di pre-print su arXiv, è semplice: l’area del puzzle non ancora assemblato è pari alla radice quadrata di 3 (ovvero circa 1.73) moltiplicata per l’area del puzzle assemblato, indipendentemente dal numero di pezzi che lo costituiscono. Ecco come sono arrivati a questa conclusione.

La matematica dei puzzle

“Gli appassionati di puzzle – si legge nella pre-print – sanno che l’area necessaria per disporre tutti i pezzi su di un piano è più grande dell’area del puzzle assemblato”. Ma quanto più grande? Per rispondere i due ricercatori sono partiti dall’assunzione che ogni pezzo di un puzzle abbia una forma quadrata e un’area pari all’area del puzzle assemblato diviso il numero di pezzi che lo compongono. Per trovare poi un modello che predica “l’impacchettamento” dei pezzi disposti sul tavolo ma non ancora assemblati, gli autori hanno assunto che ognuno si comporti come un cerchio di diametro pari alla diagonale del quadrato che (più o meno) corrisponde a ciascun pezzo. Il valore di questa diagonale è facilmente calcolabile attraverso il teorema di Pitagora, poiché corrisponde all’ipotenusa dei due triangoli isosceli contenuti all’interno del quadrato (col quale appunto viene approssimato ciascun pezzo). A questo punto, gli autori dello studio hanno assunto che i vari cerchi corrispondenti ad ogni singolo pezzo si impacchettino su una sorta di reticolo esagonale, costituito da esagoni di lato pari al diametro dei cerchi.

Come mostra la figura, l’area di un esagono corrisponde alla somma dell’area di tre cerchi: un esagono infatti contiene un cerchio intero più sei terzi di cerchio, ossia altri due cerchi completi. A questo punto, dato che esiste una formula per calcolare l’area di un esagono a partire dalla misura del suo lato (che come dicevamo corrisponde al diametro dei cerchi che rappresentano i singoli pezzi), l’area del puzzle disposto su una superficie ma non ancora assemblato si può ottenere dividendo l’area dell’esagono per tre e moltiplicando questo valore per il numero di pezzi del puzzle. Svolgendo l’equazione e semplificando i termini che si trovano sia al numeratore che al denominatore si ottiene: A_s = √ 3A_a ≈ 1.73A_a, dove A_a è l’area del puzzle assemblato e A_s l’area del puzzle ancora da assemblare. Ossia, come anticipato, l’area del puzzle non ancora assemblato risulta essere pari alla radice quadrata di 3 (ovvero circa 1.73) moltiplicata per l’area del puzzle assemblato.

Dalla teoria alla pratica

A questo punto i due ricercatori hanno verificato che il calcolo corrispondesse alla realtà. Per farlo hanno misurato l’area occupata, sia prima che dopo l’assemblaggio, da nove puzzle molto diversi fra loro in termini di numero di pezzi che li costituiscono (da 9 a 2 mila). Misurare l’area di un puzzle assemblato e di forma rettangolare è semplice, è sufficiente avere la misura dell’altezza e della base del rettangolo finale. Per misurare l’area occupata dai pezzi non ancora assemblati, invece, i due li hanno disposti uno vicino all’altro a creare una forma più o meno circolare oppure più o meno rettangolare, di cui hanno misurato l’altezza e la larghezza con un metro. L’area è stata poi ottenuta utilizzando rispettivamente la formula per calcolare l’area d’un ellisse o quella di un rettangolo. Ebbene, la formula rispecchia effettivamente la realtà. Quindi per avere un’idea della dimensione ottimale del tavolo o del piano da utilizzare per iniziare ad assemblare un puzzle sarà sufficiente moltiplicare l’area del puzzle stesso per 1.73.